Marcin Pękal

Badanie jednoznaczności sił reakcji i sił napędowych w modelach wieloczłonowych układów mechanicznych i robotycznych

Streszczenie:

W modelowaniu i symulacji złożonych układów mechanicznych lub robotycznych bardzo użyteczna jest metoda układów wieloczłonowych, umożliwiająca pełną automatyzację obliczeń. W jej podstawowym ujęciu mechanizm modelowany jest jako układ członów sztywnych, tworzących pary kinematyczne, poddany wymuszeniom o charakterze kinematycznym bądź siłowym. Szczególną, ale bardzo często spotykaną klasę układów wieloczłonowych stanowią mechanizmy z więzami nadmiarowymi, definiowanymi jako więzy powielające ograniczenia nałożone na ruch układu. Modelowanie takich mechanizmów jest utrudnione, a jednym z głównych problemów jest niejednoznaczność niektórych sił reakcji lub sił napędowych wyznaczanych na podstawie modelu obliczeniowego. Niniejsza rozprawa dotyczy tego problemu.

W pracy rozszerzono możliwości dotychczas istniejących metod analizy jednoznaczności reakcji (trzech wariantów metody sumy prostej oraz metody przestrzeni zerowej). Metody sumy prostej zapisano z wykorzystaniem macierzy permutacji, która może być użyta do algorytmizacji procesu porządkowania równań. Sformułowano także drugi krok metod, umożliwiający sprawdzenie, czy jednoznaczna reakcja ma również jednoznaczne składowe. Metoda przestrzeni zerowej pozwalała dotychczas badać jednoznaczność poszczególnych składowych reakcji, ale nie sumaryczną reakcję. Metoda została rozszerzona, by można ją było wykorzystywać w takim zakresie, jak metody sumy prostej. Najistotniejsze rozszerzenie dotychczasowych metod dotyczyło ich uogólnienia na przypadek układów z więzami kierującymi, a w szczególności z nadmiarowymi więzami kierującymi. Wykazano wpływ nadmiarowości napędowej na wyznaczalność reakcji w parach kinematycznych. Zaproponowano dwuetapowy proces analizy reakcji, pozwalający na odróżnienie skutków niejednoznaczności strukturalnej od skutków niejednoznaczności napędowej.

W rozprawie sformułowano także całkowicie nowe podejście do badania jednoznaczności, bazujące na równaniach kinetostatyki, rozszerzające dotychczasowe możliwości analizy w trzech istotnych aspektach. Możliwe stało się badanie układów opisanych przez dowolne współrzędne (wcześniejsze metody wymagały współrzędnych absolutnych). Nowa metoda umożliwia pozyskanie dodatkowych informacji o układzie – można badać jednoznaczność wypadkowej dowolnie wybranego podzbioru sił reakcji działających na analizowany człon układu. W zakresie badania układów z nadmiarowością napędową, reprezentowaną bezpośrednio przez siły, nie zachodzi konieczność formułowania więzów kierujących i dbania o ich niesprzeczność.

Kolejnym wynikiem prac jest wkomponowanie metod analizy jednoznaczności sił reakcji w rekurencyjne procedury obliczeń dynamiki, wykorzystujące współrzędne złączowe. Zabieg taki pozwala uniknąć dodatkowych nakładów pracy związanych z formułowaniem równań kinetostatyki. Nową metodę opracowano dla jednego z najefektywniejszych algorytmów analizy układów wieloczłonowych – dziel i zdobywaj. Wyprowadzono dwa podejścia – metodę globalną (która nie uwzględnia rekurencyjnego charakteru algorytmu, ale korzysta z elementów obliczanych w sposób rekurencyjny) oraz metodę rekurencyjną. Na obecnym etapie nowe metody pozwalają na analizę pewnych klas układów holonomicznych.

W rozprawie przedstawiono także praktyczne aspekty badanych zagadnień. Pokazano, że nadmiarowość więzów może – w przypadku analizy układów z tarciem w przegubach – prowadzić nie tylko do otrzymania nierealistycznych wyników dotyczących sił reakcji, ale także do nieprawidłowych wyników dotyczących symulacji ruchu. Wykazano, że analiza jednoznaczności reakcji może pełnić kluczową rolę podczas doboru właściwej struktury sztywno-podatnego modelu układu wieloczłonowego.